【八市重点高中联盟】河南八市重点高中2017届高三10月质量检测数学理科试题及答案

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一、选择题

CCCAD DBBCA CC

二、填空题

13、； 14、1820； 15、； 16、。

三、解答题

17、解析：由，得。

又，所以。 4分

（1）。 8分

（2）.

又因为，所以。 12分

18、

（1）证明：过点作交于，连结，

可得四边形为矩形，又为矩形，

所以，从而四边形为平行四边形，

故．因为平面，平面，

所以平面．

（2）解：过点作交的延长线于，连结．

由平面平面，，得平面，

从而．所以为二面角的平面角．

在中，因为，，所以，．

 又因为，所以，从而．

于是． 因为，

所以当为时，二面角的大小为．

方法二：如图，以点为坐标原点，以和分别作为轴，轴和轴，建立空 间直角坐标系．

设，

则，，，，．

（Ⅰ）证明：， ，，

所以，，从而，，

所以平面．因为平面，所以平面平面 高考数学模拟试题库  ．

故平面．

（Ⅱ）解：因为，，

所以，，从而

解得．所以，．

设与平面垂直，则，，

解得．又因为平面，，

所以，得到．

所以当为时，二面角的大小为．

19、解析：设表示事件“此人于10月日到达该市”。

根据题意，，且。 2分

（1）设为事件“此人到达当日空气重度污染”，则。

所以。 2分

（2）由题意可知，的所有可能取值为，且

， 4分

，6分

。 8分

所以的分布列为：

 

 

 

故的数学期望。 10分

（3）从10月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大。 12分

20.解：（1）依题意，由已知得，则，

由已知易得，所以，

所以椭圆的方程为。 4分

（2）①当直线的斜率不存在时，不妨设，

则为定值。 6分 高考数学模拟试题库  ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

由得，

依题意知，直线与椭圆必相交于两点，设，

则，又， 8分 高考数学模拟试题库  

所以

，

综上，得为定值2. 12分

21、解：（1）因为，所以。又，所以。

所以函数在点处的切线方程为。 2分

（2）因为，令，得。

当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减；

故。

①当时，即时，最大值点唯一，符合题意；

②当时，即时，恒成立，不符合题意；

③当时，即时，；

又（易证当时，），则有两 个零点，不符合题意。

综上，当恰有一个解时。 7分

（3）若恒成立，只需研究的情况。

由，得，令，得。

所以当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增；

， 10分

由（2）知在时，，此时显然成立。

当时，，只需，

即。

综上可得，实数的取值范围为。 12分

 

22、解：（1）连接，在的延长线上取点，如图①所示。

因为是的切线，切点为，所以， 1分

因为，所以，

因为是内接四边形的外角，

所以，所以，所以， 3分

因为，所以。 5分

（2）当点与点 高考数学模拟试题库  重合时，直线与相切。

在的延长线上取点，在的延长线上取点，连接，如图②所示，

由线切线定理知：，又，

所以，

所以与分别为和的直径。 8分

由切割线定理知：，而，

所以，

所以的直径为。 10分

23、解：（1）因为直线过点，斜率为，设直线的倾斜角为，

则，

所以直线的参数方程的标准形式为：（为参数）

因为直线和抛物线相交，所以将直线的参数方程代入抛物线方程中，

整理得。

由根与系数的关系得，

因为中点所对应的参数为，

将此值代入直线的参数方程的标准形式中，得即。

（2）。

24、解：（Ⅰ）当时，可化为，

或.

由此可得或.

故不等式的解集为.………………………………5分

（Ⅱ）法一：（从去绝对值的角度考虑）

由,得,此不等式化等价于或

解之得或

因为,所以不等式组的解集为,由题设可得,故.…10分

法二：（从等价转化角度考虑）

由,得,此不等式化等价于,

即为不等式组,解得

因为,所以不等式组的解集为,由题设可得,故…10分

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